Cambiare dimensione

Un cubo di 1 centimetro di lato avrà una superficie totale di 6 cm² e un volume di 1 cm³; un cubo grande il doppio - 2 centimetri di lato - avrà una superficie totale di 24 cm² e un volume di 8 cm³: se il lato diventa il doppio, la superficie diventa 4 volte tanto e il volume 8.

Oggi la laboratorio di scienze abbiamo discusso delle implicazioni di questi “cambiamenti dimensionali”. Questi studi non sono recenti: già Galileo, nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica del 1638, provava a spiegarlo a Simplicio.
La forza che un muscolo può produrre è proporzionale alla sezione del muscolo (cioè al quadrato di una lunghezza o l²), mentre la massa è proporzionale al cubo (l³). Supponi che ci sia un animale grande come una formica (6 mm) ma con la struttura di un uomo. Che peso potrebbe sollevare?

Un uomo di 180 cm è in grado di sollevare un peso pari al proprio peso corporeo (ipotizziamo 90 kg). Per sollevare un peso P_s (il massimo possibile) un uomo di peso P_c deve sviluppare una forza F proporzionale alla sezione del muscolo (indicando con l la dimensione caratteristica, F sarà proporzionale ad l²), mentre il suo peso è proporzionale al volume l³, cioè:

P_s =k₁l² e P_c = k₂l³

Facendo il rapporto trovo (k₁/k₂)/l.
Ora per un uomo alto 180 cm (l=180) che solleva un peso P_s uguale al suo peso corporeo P_c (P_s=P_c) dalla formula P_s/P_c= (k₁/k₂)/l
ricavo che k₁/k₂=180
Se l=0,6 cm (lunghezza della formica) e k₁/k₂=180, allora è:
P_s/P_c= (k₁/k₂)/l=180/0,6=300, da cui P_s= 300 x P_c

Per capire le variazioni al variare delle dimensioni abbiamo costruito il Cubosauro con il lego:

Poi abbiamo costruito il Dicubosauro, raddoppiando le tre dimensioni. Le "zampe" sono diventate dei pilastri! Il peso è passato da 25 a 205 g, cioè 8 volte tanto! Più un animale è grande, più acquista significato la forza di gravità e maggiore è il ruolo svolto da qualsiasi meccanismo di supporto che permetta di compensare gli effetti della gravità stessa.
Studiando i dinosauri, si è visto che con l’aumento della dimensione (esempio: l'Ornitominide, il primo in alto della figura, pesa 165 chilogrammi, mentre l'ultimo, il T. rex , 6 tonnellate), le ossa degli arti si ispessiscono relativamente più di quanto si allungano.

Abbiamo visto che gli sceneggiatori di Hollywood fanno molti pasticci quando ingrandiscono o diminuiscono persone e animali!

Ma la cosa più interessante è cosa succede, dal punto di vista del cambiamento di dimensioni, quando un essere vivente cade. Se lasciamo cadere una formica dalla finestra, prenderà un leggero colpo atterrando e resterà incolume. Un uomo subirebbe serie fratture, un elefante si sfracellerebbe (mentre nella scena finale di King Kong lo scimmione caduto dall'Empire State Building è intatto)!